BÀI TẬP VỀ BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Định nghĩa:

Xác suất của biến đổi cố A được xem với đk biến thế B đã xẩy ra được hotline là tỷ lệ có điều kiện của A. Và kí hiệu là P(A/B).

Bạn đang xem: Bài tập về biến cố độc lập

Thí du: cho một hộp kín đáo có 6 thẻ ATM của ngân hàng á châu acb và 4 thẻ ATM của Vietcombank. Lấy bỗng nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm tỷ lệ để lần đồ vật hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần đầu tiên đã mang được thẻ ATM của ACB.

Giải: gọi A là phát triển thành cố “lần sản phẩm công nghệ hai rước được thẻ ATM Vietcombank“, B là phát triển thành cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của ACB“. Ta cần tìm P(A/B).

Sau khi rước lần trước tiên (biến nỗ lực B vẫn xảy ra) vào hộp còn sót lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Vietcombank) bắt buộc :

*

2. Công thức nhân xác suất

a. Công thức: tỷ lệ của tích hai phát triển thành cố A và B bằng tích tỷ lệ của một trong những hai đổi mới cố kia với phần trăm có đk của biến chuyển cố còn lại:

*

Chứng minh: giả sử phép thử có n tác dụng cùng khả năng rất có thể xảy ra mA tác dụng thuận lợi mang lại A, mB công dụng thuận lợi mang lại B. Do A với B là hai trở nên cố bất kì, cho nên nói chung sẽ có được k công dụng thuận lợi cho tất cả A với B cùng đồng thời xảy ra. Theo định nghĩa cổ điển của tỷ lệ ta có:

*

Ta đi tính P(B/A).

Với điều kiện biến nắm A đã xảy ra, đề nghị số tác dụng cùng khả năng của phép thử so với biến B là mA, số kết quả thuận lợi mang lại B là k. Vày đó:

*

Như vậy:

*

Vì vai trò của hai biến cố A với B như nhau. Bằng phương pháp chứng minh tương tự ta được: P(A.B) = P(B).P(A/B)♦

(chứng minh trên được tìm hiểu thêm từ giáo trình xác suất thống kê của người sáng tác Hoàng Ngọc Nhậm – NXB Thống Kê)

Ví dụ:

1. Trong vỏ hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong số ấy có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe pháo BMW”. Các bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính phần trăm để cả nhì nắp hầu như trúng thưởng.

Giải: điện thoại tư vấn A là đổi mới cố “nắp khoen đầu trúng thưởng”. B là biến đổi cố “nắp khoen vật dụng hai trúng thưởng”. C là biến hóa cố “cả 2 nắp hầu như trúng thưởng”.

Khi các bạn rút thăm lần đầu tiên thì trong vỏ hộp có 20 nắp trong những số đó có 2 nắp trúng. P(A) = 2/20

Khi vươn lên là cố A đã xẩy ra thì còn lại 19 nắp vào đó có một nắp trúng thưởng. Bởi vì đó: p(B/A) = 1/19.

Từ kia ta có: p(C) = p(A). P(B/A) = (2/20).(1/19) = 1/190 ≈ 0.0053

2. Áo Việt Tiến trước khi xuất khẩu sang trọng Mỹ đề xuất qua gấp đôi kiểm tra, trường hợp cả nhì lần đông đảo đạt thì loại áo đó new đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm nên qua được lần bình chọn thứ nhất, và 95% thành phầm qua được lần chất vấn đầu sẽ thường xuyên qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm tỷ lệ để 1 cái áo đầy đủ tiêu chuẩn chỉnh xuất khẩu?

Giải:

Gọi A là trở nên cố ” qua được lần đánh giá đầu tiên”, B là biên nạm “qua được lần khám nghiệm thứ 2”, C là đổi thay cố “đủ tiêu chuẩn chỉnh xuất khẩu”

Thì: p(C) = p(A). P(B/A) = 0,98.0,95 = 0,931

3. Lớp Lý 2 Sư Phạm tất cả 95 Sinh viên, trong đó có 40 nam cùng 55 nữ. Vào kỳ thi môn tỷ lệ thống kê bao gồm 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam cùng 11 nữ). điện thoại tư vấn tên đột nhiên một sv trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sv đạt điểm tốt môn XSTK, biết rằng sinh viên chính là nữ?

Giải:

Gọi A là biến cố “gọi được sv nữ”, B là biến đổi cố điện thoại tư vấn được sinh viên đạt điểm xuất sắc môn XSTK”, C là biến chuyển cố “gọi được sinh viên nữ ăn điểm giỏi”

Thì ta có: p(C) = P(B/A)

Do đó:

*

b. Các định nghĩa về những biến rứa độc lập:

* Định nghĩa 1: Hai trở thành cố A và B hotline là tự do nhau nếu vấn đề xảy ra hay không xảy ra thay đổi cố này không làm biến hóa xác suất xẩy ra của đổi mới cố kia và ngược lại.

* Ta hoàn toàn có thể dùng khái niệm tỷ lệ có đk để định nghĩa những biến cố hòa bình như sau:

Nếu P(A/B) = P(A) với P(B/A) = P(B) thì A cùng B độc lập với nhau.

Xem thêm: Bạn Có Biết Ý Nghĩa Của Lá Cờ Hàn Quốc Có Ý Nghĩa Gì ? Lá Cờ Của Hàn Quốc Có Ý Nghĩa Gì

Trong trường hợp bài toán biến cố gắng này xảy ra hay không xảy ra làm cho cho xác suất xảy ra của trở thành cố kia biến đổi thì hai biến đổi cố đó điện thoại tư vấn là nhờ vào nhau.

Thí dụ: vào bình bao gồm 4 quả mong trắng và 5 quả ước xanh, lấy tự nhiên từ bình ra 1 trái cầu. Call A là biến cố “lấy được quả ước xanh“. Hiển nhiên P(A) = 5/9 . Trái cầu mang ra được vứt lại vào bình và thường xuyên lấy 1 trái cầu. Call B là biến đổi cố “lần thứ 2 lấy được quả cầu xanh“, P(B) = 5/9. Rõ ràng xác suất của trở nên cố B không biến đổi khi vươn lên là cố A xảy ra hay là không xảy ra cùng ngược lại. Vậy hai trở thành cố A cùng B tự do nhau.

Ta chú ý rằng: nếu A với B độc lập, thì

*
hoặc
*
hoặc
*
cũng hòa bình với nhau.

Trong thực tế việc nhận biết tính độc lập, phụ thuộc, xung khắc của những biến cố. Công ty yếu dựa vào trực giác.

* Định nghĩa 2: các biến thế A1, A2, …, An, được gọi là độc lập từng song nếu từng cặp hai thay đổi cố ngẫu nhiên trong n vươn lên là cố đó chủ quyền với nhau.

Thí dụ: Xét phép thử từng đồng xu 3 lần. Hotline Ai là biến chuyển cố: “được khía cạnh sấp làm việc lần tung máy i” (i = 1, 2, 3). Cụ thể mỗi cặp hai trong 3 đổi thay cố đó tự do với nhau. Vậy A1, A2, A3 hòa bình từng đôi.

* Định nghĩa 3: những biến vậy A1, A2, …, An, được điện thoại tư vấn là hòa bình từng phần nếu mỗi thay đổi cố tự do với tích của một tổng hợp bất kỳ trong những biến cố kỉnh còn lại.

Ta để ý là những biến cố độc lập từng đội thì không chắc hòa bình toàn phần. Điều kiện tự do toàn phần bạo dạn hơn độc lập từng đôi.

Xem thêm: Biện Luận Phương Trình Bậc 2, Kiến Thức Biện Luận Bất Phương Trình Bậc 2

c) Hệ quả: từ định lý bên trên ta rất có thể suy ra một số trong những hệ quả sau đây:

Hệ quả 1:

Xác suất của tích hai thay đổi cố tự do bằng tích xác suất của các biến ráng đó: P(A.B) = P(A).P(B).

Hệ trái 2:

Xác suất của tích n trở thành cố bởi tích tỷ lệ của các biến cố đó, vào đó phần trăm của mỗi thay đổi cố tiếp sau đều được xem với điều kiện tấc cả những biến rứa trước này đã xảy ra:

*

Hệ trái 3:

Xác suất của tích n đổi thay cố hòa bình toàn phần bằng tích xác suất của các biến núm đó: