CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ

     

Bài viết hướng dẫn cách thức giải một trong những bài toán minh chứng đẳng thức vectơ, đó là dạng toán thường gặp mặt trong lịch trình Hình học tập 10 chương 1.

Bạn đang xem: Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải toán:Để chứng minh một đẳng thức vectơ ta chú ý:1) Sử dụng:+ nguyên tắc $3$ điểm: $overrightarrow AB + overrightarrow BC = overrightarrow AC $, $overrightarrow AC – overrightarrow AB = overrightarrow BC $ với mọi $A$, $B$, $C.$+ quy tắc hình bình hành: $overrightarrow AB + overrightarrow AD = overrightarrow AC $ với $ABCD$ là hình bình hành.+ phép tắc trung điểm: $overrightarrow MA + overrightarrow MB = 2overrightarrow MI $ cùng với $I$ là trung điểm của $AB.$+ quy tắc trọng tâm: $overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC = vec 0$ với $G$ là trung tâm tam giác $ABC.$+ các tính chất của những phép toán.2) thực hiện các phép thay đổi theo một trong những hướng sau:+ đổi khác vế này thành vế tê của đẳng thức (thông hay là bắt đầu từ vế phức tạp biến hóa rút gọn để lấy về vế đơn giản dễ dàng hơn).+ biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn luôn đúng.+ bắt đầu từ một đẳng thức luôn luôn đúng để chuyển đổi về đẳng thức cần chứng minh.

Xem thêm: Có Gì Đẹp Trên Đời Hơn Thế Người Yêu Người Sống Để Yêu Nhau, Người Yêu Người, Sống Để Yêu Nhau

Bài toán 1: đến $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$. Minh chứng rằng:a) $overrightarrow AB + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow CB .$b) $overrightarrow AB – overrightarrow CD = overrightarrow AC – overrightarrow BD .$

a)Cách 1: thay đổi vế trái (VT) ta có:$VT = overrightarrow AB + overrightarrow CD $ $ = (overrightarrow AD + overrightarrow DB ) + (overrightarrow CB + overrightarrow BD )$ $ = overrightarrow AD + overrightarrow CB + overrightarrow DB + overrightarrow BD $ $ = overrightarrow AD + overrightarrow CB + vec 0$ $ = overrightarrow AD + overrightarrow CB = VP.$Nhận xét: sử dụng cách giải này, ta cần chăm chú khi biến hóa các số hạng của một vế cần thân thiết phân tích làm mở ra các số hạng tất cả ở vế mặt kia. Ví dụ điển hình số hạng sống vế trái là $overrightarrow AB $ nhưng mà vế phải gồm chứa $overrightarrow AD $ cần ta viết $overrightarrow AB = overrightarrow AD + overrightarrow DB .$Cách 2: Ta có: $overrightarrow AB + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow CB $ $(1)$ $ Leftrightarrow overrightarrow AB – overrightarrow AD = overrightarrow CB – overrightarrow CD $ $ Leftrightarrow overrightarrow DB = overrightarrow DB $ $(2).$Ta bao gồm $(2)$ luôn luôn đúng vậy $(1)$ được hội chứng minh.

Xem thêm: Top 10 Bài Văn Tự Sự Lớp 10 : Đề 1 Đến Đề 5 (49 Mẫu), Văn Tự Sự Lớp 10

Cách 3: Ta có: $overrightarrow AB + overrightarrow BC + overrightarrow CD + overrightarrow DA = vec 0.$Suy ra: $overrightarrow AB + overrightarrow CD = – overrightarrow DA – overrightarrow BC .$Do đó: $overrightarrow AB + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow CB .$b) Ta có: $VT = overrightarrow AB – overrightarrow CD $ $ = (overrightarrow AC + overrightarrow CB ) – (overrightarrow CB + overrightarrow BD )$ $ = overrightarrow AC – overrightarrow BD + overrightarrow CB – overrightarrow CB $ $ = overrightarrow AC – overrightarrow BD = VP.$Tương từ ta cũng đều có các cách chứng minh khác đến câu b.

Bài toán 2: đến tam giác $ABC$ và $G$ là trung tâm tam giác $ABC.$a) chứng minh rằng: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = 3overrightarrow MG .$b) tra cứu tập thích hợp điểm $M$ sao cho $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = 0.$

a) Ta có: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC $ $ = (overrightarrow MG + overrightarrow GA ) + (overrightarrow MG + overrightarrow GB ) + (overrightarrow MG + overrightarrow GC )$ $ = 3overrightarrow MG + (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ = 3overrightarrow MG + vec 0$ $ = 3overrightarrow MG .$b) vị $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = vec 0.$$3overrightarrow MG = vec 0$ hay $overrightarrow MG = vec 0$ cho nên $M equiv G.$Suy ra tập phù hợp $M$ vừa lòng $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = vec O$ là $ G .$

Bài toán 3: mang lại tam giác $ABC$ bao gồm $D$, $E$, $F$ theo lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng:a) $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF = vec 0.$b) với mọi điểm $M$ ta tất cả $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF .$

*

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ phải $overrightarrow AB + overrightarrow AC = 2overrightarrow AD .$Suy ra $overrightarrow AD = frac12(overrightarrow AB + overrightarrow AC ).$Tương từ bỏ $overrightarrow BE = frac12(overrightarrow BA + overrightarrow BC )$, $overrightarrow CF = frac12(overrightarrow CA + overrightarrow CB ).$Do đó: $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF $ $ = frac12(overrightarrow AB + overrightarrow AC + overrightarrow BA + overrightarrow BC + overrightarrow CA + overrightarrow CB )$ $ = frac12left< (overrightarrow AB + overrightarrow BA ) + (overrightarrow AC + overrightarrow CA ) + (overrightarrow BC + overrightarrow CB ) ight>$ $ = frac12(vec 0 + vec 0 + vec 0) = vec 0.$Cách khác: hotline $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, khi đó ta có:$overrightarrow AD = – frac32overrightarrow GA $, $overrightarrow BE = – frac32overrightarrow GB $, $overrightarrow CF = – frac32overrightarrow GC .$Suy ra: $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF $ $ = – frac32(overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ = – frac32.vec 0 = vec 0.b.$b) với đa số điểm $M$ ta có:$overrightarrow MA + overrightarrow MB = 2overrightarrow MF .$$overrightarrow MB + overrightarrow MC = 2overrightarrow MD .$$overrightarrow MC + overrightarrow MA = 2overrightarrow ME .$Suy ra $2(overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC )$ $ = 2(overrightarrow MF + overrightarrow MD + overrightarrow ME ).$Vậy $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC $ $ = overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF .$

Bài toán 4: mang đến tam giác $ABC$ và $G$, $H$, $O$ lần lượt là trọng tâm, trực tâm, trung ương đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Hotline $D$ là vấn đề đối xứng của $A$ qua $O$. Chứng tỏ rằng:a) $overrightarrow HB + overrightarrow HC = overrightarrow HD .$b) $overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC = 2overrightarrow HO .$c) $overrightarrow HA – overrightarrow HB – overrightarrow HC = 2overrightarrow OA .$d) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = overrightarrow OH .$e) $overrightarrow OH = 3overrightarrow OG .$

*

a) Ta có: $widehat ABD = widehat ACD = 1v$ (góc nội tiếp chắn nữa con đường tròn).Suy ra $BD ot AB.$Mặc không giống $CH ot AB$ (vì $H$ là trực tâm).Do vậy $BD//CH.$Tương trường đoản cú ta bao gồm $CD//BH.$Từ kia suy ra $HBDC$ là hình bình hành.Do đó $overrightarrow HB + overrightarrow HC = overrightarrow HD .$b) $overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC $ $ = overrightarrow HA + (overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = overrightarrow HA + overrightarrow HD = 2overrightarrow HO .$c) $overrightarrow HA – overrightarrow HB – overrightarrow HC $ $ = overrightarrow HA – (overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = overrightarrow HA – overrightarrow HD $ $ = overrightarrow DA = 2overrightarrow OA .$d) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC $ $ = (overrightarrow OH + overrightarrow HA ) + (overrightarrow OH + overrightarrow HB ) + (overrightarrow OH + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow OH + (overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow OH + 2overrightarrow HO $ $ = 3overrightarrow OH – 2overrightarrow OH = overrightarrow OH .$e) $overrightarrow OH = overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = 3overrightarrow OG .$Bài toán 5: mang đến tứ giác $ABCD.$ call $E$, $F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$, $CD$, $O$ là trung điểm của $EF.$ chứng tỏ rằng:a) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD = overrightarrow 0 .$b) $overrightarrow MA + overrightarrow MB + mathop overrightarrow MC limits^. + overrightarrow MD = 4overrightarrow MO .$

a) Ta có $VT = (overrightarrow OA + overrightarrow OB ) + (overrightarrow OC + overrightarrow OD )$ $ = 2overrightarrow OE + 2overrightarrow OF $ $ = 2(overrightarrow OE + overrightarrow OF )$ $ = overrightarrow 0 = VP.$b) Ta có: $VT = (overrightarrow MO + overrightarrow OA ) + (overrightarrow MO + overrightarrow OB )$ $ + (overrightarrow MO + overrightarrow OC ) + (overrightarrow MO + overrightarrow OD )$ $ = 4overrightarrow MO + (overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD )$ $ = 4overrightarrow MO + overrightarrow 0 $ $ = 4overrightarrow MO = VP.$

Bài toán 6: cho tam giác $ABC$ với tam giác $A_1B_1C_1.$ call $G$, $G_1$ thứu tự là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác $A_1B_1C_1.$ minh chứng rằng: $overrightarrow AA_1 + overrightarrow BB_1 + overrightarrow CC_1 = 3widehat GG_1.$

Ta có $VT = left( overrightarrow AG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1A_1 ight)$ $ + left( overrightarrow BG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1B_1 ight)$ $ + left( overrightarrow CG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1C_1 ight)$ $ = 3overrightarrow GG_1 + (Aoverrightarrow G + overrightarrow BG + overrightarrow CG )$ $ + left( overrightarrow G_1A_1 + overrightarrow G_1B_1 + overrightarrow G_1C_1 ight)$ $ = 3overrightarrow GG_1 + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 $ $ = 3overrightarrow GG_1 = VP.$

Bài toán 7: mang đến tam giác $ABC.$ hotline $M$ là trung điểm của $AB$ với $N$ là vấn đề trên cạnh $AC$ sao cho $NC = 2NA.$ call $K$ là trung điểm của $MN.$a) minh chứng rằng: $overrightarrow AK = frac14overrightarrow AB + frac16overrightarrow AC .$b) gọi $D$ là trung điểm của $BC.$ chứng tỏ rằng: $overrightarrow KD = frac14overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC .$

*

a) Ta có: $overrightarrow AK = frac12(overrightarrow AM + overrightarrow AN )$ (vì $K$ là trung điểm của $MN$) $ = frac12left( frac12overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC ight)$ $ = frac14overrightarrow AB + frac16overrightarrow AC .$b) Ta có: $overrightarrow KD = frac12(overrightarrow KB + overrightarrow KC )$ $ = frac12(overrightarrow KA + overrightarrow AB + overrightarrow KA + overrightarrow AC )$ $ = overrightarrow KA + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = – overrightarrow AK + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = – frac14overrightarrow AB – frac16overrightarrow AC + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = frac14overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC .$

Bài toán 8: đến hai điểm $A$ cùng $B$, $M$ là vấn đề trên đường thẳng $AB$ làm thế nào để cho $noverrightarrow AM = moverrightarrow MB $. Chứng tỏ rằng cùng với điểm $O$ bất kì, ta có: $overrightarrow OM = fracnm + noverrightarrow OA + fracmm + noverrightarrow OB .$

Ta tất cả $noverrightarrow AM = moverrightarrow MB .$Suy ra $n(overrightarrow OM – overrightarrow OA ) = m(overrightarrow OB – overrightarrow OM ).$Do đó $(m + n)overrightarrow OM = noverrightarrow OA + moverrightarrow OB .$Như vậy $overrightarrow OM = fracnm + noverrightarrow OA + fracmm + noverrightarrow OB .$

Bài toán 9: đến tam giác $ABC.$ trên cạnh $AB$, $AC$ lấy những điểm $M$, $N$ sao cho $fracMAMB = a$, $fracNANC = b.$ hai tuyến phố thẳng $CM$ và $BN$ giảm nhau trên $I.$ chứng tỏ rằng $overrightarrow AI = aoverrightarrow IB + boverrightarrow IC .$

*

Dựng $Ax$ tuy nhiên song $BN$ cắt $CM$ tại $E.$Dựng $Ay$ tuy nhiên song $CM$ cắt $BN$ trên $F.$Khi đó ta gồm $overrightarrow AI = overrightarrow AE + overrightarrow AF .$Mặc khác $Delta MAE$ đồng dạng $Delta MBI.$Nên $fracAEIB = fracMAMB = a.$Suy ra $overrightarrow AE = aoverrightarrow IB .$Tương tự $Delta NAF$ đồng dạng $Delta NCI$ nên $overrightarrow AF = boverrightarrow CI .$Từ đó suy ra $overrightarrow AI = aoverrightarrow IB + boverrightarrow IC .$