Chuyên đề bất đẳng thức lớp 8

     
Bạn sẽ xem đôi mươi trang chủng loại của tư liệu "Giáo trình môn Toán Lớp 8 - chuyên đề 5: Bất đẳng thức", để mua tài liệu cội về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD nghỉ ngơi trên


Bạn đang xem: Chuyên đề bất đẳng thức lớp 8

Tài liệu lắp kèm:

*
giao_trinh_mon_toan_lop_8_chuyen_de_5_bat_dang_thuc.doc

Nội dung text: Giáo trình môn Toán Lớp 8 - chuyên đề 5: Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ 5: BẤT ĐẲNG THỨC I.LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: những mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A B mà lại ta chuyển đổi được thành C > D thì ta bảo rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B. Kí hiệu A > B => C > D nếu như BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D cùng C>D cũng là BĐT hệ trái của BĐT A>B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B C>D 3. Tính chất: A B A C B C ( cộng hai vế của BĐT với một số) A B A.C B.C, C 0 (Nhân nhị vế của BĐT với 1 số) A B A.C B.C, C 0 A B,C D A C B D ( cộng hai BĐT thuộc chiều) A B,C D AC BD, A,C 0 (Nhân hai BĐT thuộc chiều) A B A2n 1 B2n 1 hoặc A2n B2n với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa) A B A B, A 0 (Khai căn hai vế của một BĐT) a b a b a b (Tính hóa học giá trị tốt đối). II.LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT A2 0 bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 xy yz zx HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hiệu ta có: 2 x2 y2 z2 xy yz zx 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 vệt bằng xảy ra khi x = y = z bài 2: CMR : với đa số x,y,z thì x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hiệu ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 2 0 lốt bằng xẩy ra khi x+z=y bài 3: CMR : với đa số x,y,z thì x2 y2 z2 3 2 x y z HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hiệu ta có: x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 , Dấu bởi khi x=y=z=1 2 a2 b2 a b bài xích 4: CMR : với tất cả a,b ta gồm : 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 1CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 a2 b2 a2 2ab b2 Xét hiệu ta có : 0 2a2 2b2 a2 2ab b2 0 2 4 a2 2ab b2 0 a b 2 0 , Dấu bằng khi a=- b 2 a2 b2 c2 a b c bài xích 5: CMR : với mọi a,b,c ta bao gồm : 3 3 HƯỚNG DẪN GIẢI a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac Ta có: 3 9 3a2 3b2 3c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 , Dấu bằng khi a=b=c a b c 2 bài xích 6: CMR : a2 b2 c2 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:3a2 3b2 3c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 , Dấu bởi khi a=b=c a b 2 bài bác 7: CMR : a2 b2 2ab 2 HƯỚNG DẪN GIẢI a b 2 Ta triệu chứng minh: a2 b2 2a2 2b2 a2 2ab b2 2 a2 b2 2ab 0 a b 2 0 , Dấu bằng khi a=b 2 a b 2 Ta minh chứng 2ab a2 2ab b2 4ab a b 0 , Dấu bằng khi a=b 2 b2 bài bác 8: cho a,b,c là các số thực. CMR: a2 ab 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 4a2 b2 4ab 2a b 2 0 Dấu bởi khi b=2a bài 9: cho a,b,c là các số thực. CMR : a2 b2 1 ab a b HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 1 ab a b 0 2a2 2b2 2 2ab 2a 2b 0 a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 0 a b 2 a 1 2 b 1 2 0 . Dấu bởi khi a=b=1 bài xích 10: cho a,b,c,d là các số thực . CMR : a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 0 4a2 4b2 4c2 4d 2 4e2 4ab 4ac 4ad 4ae 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4 chiều 2 a2 4ae 4e2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2 chiều 2 a 2e 2 0 lốt bằng xẩy ra khi a=2b=2c=2d=2e 2CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 1 1 bài 11: mang đến a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR: 1 1 9 a b HƯỚNG DẪN GIẢI a b a b b a a b Ta có: VT 1 1 2 2 4 2 1 a b a b b a a b a b 2 2 1 5 2 5 2.2 9 . Dấu bằng khi a b a b b a b a 2 2 x y bài 12: đến x, y 0,CMR : xy 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:x2 y2 2xy 4xy x2 2xy y2 0 x y 2 0 , Dấu bằng khi x=y bài xích 13: mang lại a > 0, b > 0. CMR: a3 b3 a2b ab2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 a b 0 2 a b a2 b2 0 a b a b 0 Dấu bằng khi a=b 1 1 2 bài 14: mang đến a b 1, CMR: 1 a2 1 b2 1 ab HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 1 1 a b a b a b Xét hiệu: 2 2 0 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab b a 2 ab 1 0 , Dấu bởi khi a=b hoặc a.b=1 1 ab a2 1 b2 a bài xích 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn luôn có : x2 y2 z2 t 2 x y z t HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x2 y2 z2 t 2 xy xz xt 0 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt 0 x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0 Dấu bởi khi x= 2y=2z=2t=0 a2 bài xích 17: CMR : b2 c2 ab ac 2bc 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc 0 a2 4a b c 4 b2 c2 2bc 0 a2 4a b c 4 b c 2 0 a 2a 2c 2 0 bài bác 19: CMR : x2 y2 z2 2xy 2zx 2yz HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x2 2x y z y2 2 yz z2 0 x2 2x y z y z 2 0 x y z 2 0 bài bác 21: CMR : a2 b2 c2 ab bc ca HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có : a2 b2 c2 ab bc ca 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 bài xích 22: CMR : a2 b2 ab 3CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 2 2 2 2 b b 3b b 3b Ta có: a b ab 0 a 2a. 0 a 0 2 4 4 2 4 bài xích 23: CMR : x2 xy y2 0 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 2 2 y y 3y y 3y Ta có: x 2x. 0 x 0 2 4 4 2 4 bài xích 24: CMR : a a b a c a b c b2c2 0 HƯỚNG DẪN GIẢI a a b c a b a c b2c2 0 a2 ab ac a2 ab ac bc b2c2 0 2 a ab ac x 2 2 2 Đặt , khi ấy ta có: x x y y 0 x xy y 0 bc y 2 bài bác 25: CMR : a2 b2 a4 b4 a3 b3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a6 a2b4 a4b2 b6 a6 2a3b3 b6 a4b2 a3b3 a2b4 a3b3 0 a3b2 a b a2b3 b a 0 2 a b a3b2 a2b3 0 a2b2 a b 0 bài xích 26: CMR : a b a3 b3 2 a4 b4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a4 ab3 a3b b4 2a4 2b4 a4 ab3 b4 a3b 0 2 a3 a b b3 b a 0 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 bài 27: đến a,b > 0, CMR : 2 a3 b3 a b a2 b2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2a3 2b3 a3 ab2 a2b b3 a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 b a 0 a b 2 a b 0 bài 28: đến a, b > 0, CMR: 4 a3 b3 a b 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 4a3 4b3 a3 3a2b 3ab2 b3 3a3 3a2b 3b3 3ab2 0 3a2 a b 3b2 b a 0 3 a b a2 b2 0 3 a b 2 a b 0 bài xích 29: đến a,b,c > 0, CMR: a3 b3 abc ab a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a3 b3 abc a2b ab2 abc a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 b a 0 a b 2 a b 0 4CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 2 bài xích 30: CMR: a2 b2 ab a b 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a4 2a2b2 b4 ab a2 2ab b2 a3b 2a2b2 ab3 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 b a 0 2 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 bài xích 31: CMR: a2 b2 c2 a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 c2 ab ac 0 4a2 4b2 4c2 4ab 4ac 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 2a2 0 a 2b 2 a 2c 2 2a2 0 bài xích 32: CMR: a2 b2 c2 d 2 a b c d HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 c2 d 2 ab ac ad 0 4a2 4b2 4c2 4 chiều 2 4ab 4ac 4ad 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d 2 a2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a2 0 3 bài xích 33: CMR: a2 b2 c2 a b c 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 Ta có: a a b b c c 0 a a b b c c 0 4 4 4 4 2 2 2 1 1 1 a b c 0 2 2 2 bài bác 34: CMR: a4 b4 2 4ab HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a4 b4 4ab 2 0 a4 b4 2a2b2 2a2b2 4ab 2 0 2 2 a2 b2 2 a2b2 2ab 1 0 a2 b2 2 ab 1 2 0 bài bác 35: CMR: x4 4x 5 0 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 Ta có: x4 4x2 4 4x2 4x 1 0 x2 2 2x 1 0 Không xẩy ra dấu bằng. 1 bài 36: CMR: x4 x 0 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 4 2 1 2 1 2 1 1 Ta có: x x x x 0 x x 0 4 4 2 2 bài 37: CMR: x3 4x 1 3x2 (x 0) HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x3 3x2 4x 1 0 x x2 x 4 x2 1 0 x x 2 2 x2 1 0 , vì chưng x > 0 bài xích 39: CMR: x 1 x 2 x 3 x 4 1 HƯỚNG DẪN GIẢI x 1 x 4 x 2 x 3 1 0 x2 5x 4 x2 5x 6 1 0 Đặt x2 5x 5 t , lúc ấy ta có: t 1 t 1 1 0 t 2 0 , Dấu bằng khi t=0 5CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 bài bác 40: CMR: x4 x3 x2 x 1 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta gồm : x3 x 1 x 1 x2 0 x 1 x3 1 x2 0 2 x 1 x2 x 1 x2 0 ( ĐPCM) bài xích 41: CMR : a2 4b2 4c2 4ab 8bc 4ac HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 4b2 4c2 4ab 8bc 4ac 0 a2 2b 2 2c 2 2.a.2b 2.2b.2c 2.a.2c 0 a b c 2 0 bài 43: CMR: a b c 3 a3 b3 c3 24abc với a,b,c>0 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a3 b3 c3 3 a b b c c a a3 b3 c3 24abc 3 a b b c c a 24abc a b 2 ab vì chưng b c 2 bc , Nhân theo vế ta được ĐPCM c a 2 ca x2 y2 x y bài 44: CMR: với mọi x, y # 0 ta có: 2 2 4 3 y x y x HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Ta có: x4 y4 4x2 y2 3xy x2 y2 x2 y2 xy x2 y2 2x2 y2 2xy x2 y2 0 x2 y2 x2 y2 xy 2xy xy x2 y2 0 x2 y2 xy x2 y2 2xy 0 2 x y x2 xy y2 0 1 bài bác 45: CMR : giả dụ a b 1 , thì a3 b3 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 3 2 3 3 3 2 1 1 1 Ta có:b 1 a b 1 3a 3a a a b 3a 3a 1 3 a 2 4 4 bài bác 46: mang lại a,b,c > 0, CMR : ab bc ca a2 b2 c2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 a2 a 1 bài bác 47: CMR : 0 a2 a 1 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 1 3 2 2 1 3 Ta có:a a 1 a a 0,a a a 1 a a 0,a 4 4 4 4 bài 48: CMR : 4a a b a 1 a b 1 b2 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:4a a b 1 a 1 a b b2 0 4 a2 ab a a2 ab a b b2 0 . 2 a ab a x 2 Đặt khi đó: 4x x y y2 0 4x2 4xy y2 0 2x y 0 , b y 6CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 2a a 1 Dấu bằng khi 2x y 2a2 2ab 2a b b 2a 1 x y 2 bài bác 49: CMR : x2 y2 2xy 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 x y 2 x2 y2 2x2 2y2 x2 y2 2xy x y 0 Ta có: 2 2 x y 2 2xy x2 y2 2xy 4xy x y 0 2 1 1 4 bài 50: CMR : , cùng với a,b > 0 a b a b HƯỚNG DẪN GIẢI a b 4 2 2 Ta có: a b 4ab a b 0 ab a b bài 51: CMR : a4 b4 ab a2 b2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Ta có: a4 b4 a3b ab3 0 a3 a b b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 4 a4 b4 a b bài 52: CMR : 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:8a4 8b4 a4 b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3 7a4 7b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3 0 a4 b4 2a2b2 6a4 6b4 4ab a2 b2 8a2b2 0 2 a2 b2 4ab a2 b2 4a2b2 6 a4 b4 12a2b2 0 2 2 a2 b2 2ab 6 a4 b4 2a2b2 0 a b 4 6 a2 b2 0 bài xích 53: cho a+b+c=0, CMR : ab bc ca 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 2 ab bc ca a2 b2 c2 0 Dấu bởi khi a=b=c=0 2 2 2 bài bác 54: đến x,y,z R , CMR : x y y z z x 3 x2 y2 z2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 2 0 x6 y6 bài xích 55: CMR : với mọi x,y không giống 0, ta luôn có : x4 y4 y2 x2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x2 y2 x4 y4 x8 y8 x8 y8 x6 y2 x2 y6 0 x6 x2 y2 y6 x2 y2 0 x6 y6 x2 y2 0 x2 y2 x4 x2 y2 y4 x2 y2 0 2 x2 y2 x4 x2 y2 y4 0 7CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 bài xích 56: CMR : 2a2 b2 c2 2a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2a2 b2 c2 2ab 2ac 0 a2 2ab b2 a2 2ac c2 0 a b 2 a c 2 0 bài xích 57: CMR : a4 a3b ab3 b4 0 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Ta có: a3 a b b3 a b 0 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 bài 58: CMR : a4 2a3b 2a2b2 2ab3 b4 0 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 Ta có: a4 2a2.ab a2b2 b4 2ab.b2 a2b2 0 a2 ab b2 ab 0 bài 59: CMR : a4 b4 c2 1 2a ab2 a c 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a4 b4 c2 1 2a2b2 2a2 2ac 2a 0 2 2 2 a4 b4 2a2b2 a2 2ac c2 a2 2a 1 0 a2 b2 a c a 1 0 bài 60: CMR : ab bc ca 2 3abc a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2b2 b2c2 c2a2 2ab2c 2abc2 2a2bc 3a2bc 3ab2c 3abc2 0 a2b2 b2c2 c2a2 ab2c abc2 a2bc 0 ab x 2 2 2 2 2 2 Đặt bc y => x y z xy yz zx 0 x y y z z x 0 ca z 1 1 1 1 1 bài xích 61: CMR : y x z x z , cùng với 0 x y z x z y x z HƯỚNG DẪN GIẢI 2 y x z x z x z Ta có: 0 y2 xz y x z 0 y2 xz xy yz 0 xz y xz y x z y 0 1 1 4 bài bác 62: mang lại a,b dương bao gồm tổng 1, CMR : a 1 b 1 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Quy đồng 3 a b 2 4 a 1 b 1 4 ab a b 1 9 1 4ab a b 2 4ab a b 2 0 ( đúng) a2 b2 a b bài 63: CMR : với a,b,c > 0 thì b2 a2 b a HƯỚNG DẪN GIẢI a2 b2 a b a b a2 b2 a b Ta có: 2 2 2 0 VT 2 2 2 2 b a b a b a b a b a a2 a b2 b 2 2. 1 2 2. 1 0 b b a a a8 b8 c8 1 1 1 bài 64: CMR : , a,b,c 0 a3b3c3 a b c 8CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 Ta có: a8 b8 c8 a4b4 b4c4 c4a4 a2b2 b2c2 c2a2 VT a2b4c2 b2c4a2 a4b2c2 a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2c2 ab bc ca a8 b8 c8 a8 b8 c8 1 1 1 ab bc ca a2b2c2 a3b3c3 a b c bài bác 65: CMR : a10 b10 a2 b2 a8 b8 a4 b4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12 a10b2 a8b4 a2b10 a4b8 0 a8b2 a2 b2 a2b8 b2 a2 0 a2b2 a2 b2 a6 b6 0 2 a2b2 a2 b2 a4 a2b2 b4 0 1 1 1 bài bác 66: cho a,b,c dương bao gồm abc=1, và a b c , CMR : a 1 b 1 c 1 0 a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:a b c ab bc ca , Xét a 1 b 1 c 1 abc ab bc ca a b c 1 => a b c ab bc ca 0 bài xích 67: đến a,b>0, vừa lòng : a3 b3 a b , CMR : a2 b2 ab 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a3 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 a b a b a2 b2 ab a2 b2 ab 1 bài bác 68: CMR : 2 a8 b8 a3 b3 a5 b5 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2a8 2b8 a8 a3b5 a5b3 b8 a8 a5b3 b8 a3b5 0 a5 a3 b3 b5 a3 b3 0 a5 b5 a3 b3 0 , đưa sử a > b =>a3 b3 ,a5 b5 => ĐPCM giả dụ a a3 b3 ,a5 b5 => ĐPCM bài bác 69: Cho tía số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2 ab bc ca(1) HƯỚNG DẪN GIẢI (1)  2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca  (a b)2 (b c)2 (c a)2 0(dung) vệt “ = ” xẩy ra  a b c bài bác 70: Cho cha số a, b, c bất kỳ, minh chứng rằng: (ab bc ca)2 3abc(a b c)(1) HƯỚNG DẪN GIẢI (1)  a2b2 b2c 2 c2a2 a2bc ab2c abc2 0  2( ) 0  (ab bc)2 (bc ca)2 (ca ba)2 0 vết “ = ” xảy ra  ab bc;bc ca;ca ab  a b c bài xích 71: chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)a,b,c,d,e R HƯỚNG DẪN GIẢI a2 a2 a2 a2 a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)  ab b 2 ac c2 ad d 2 ae e2 0 4 4 4 4 a a  ( b)2 ( e)2 0(dung) 2 2 a b c b a c bài bác 72: Cho tía số a, b, c thỏa mãn: 0 a b c.CMR : b c a a c b HƯỚNG DẪN GIẢI 9CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Xét hiệu: a b c b a c 1 1 (a2c ab2 bc2 b2c ba2 ac2 ) (a2c b2c) (b2a ab2 ) (c2b ac2 ) b c a a c b abc abc 1 1 c(a b)(a b) ab(a b) c2 (a b) (a b)(b c)(c a) 0(do : 0 a b c) abc abc a b c 1 1 1 bài xích 73: chứng minh rằng: 2( ) với a, b, c > 0 bc ac ab a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hiệu: a b c bc ac ab  2( ) 0  a2 b2 c2 2bc 2ca 2ab 0  (a b c)2 0 bc ac ab abc abc abc bài bác 74: minh chứng rằng giả dụ a b 2 thì a3 b3 a 4 b4 HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hiệu: a 4 b4 a3 b3 a3 (a 1) b3 (b 1) a3 (a 1) (a 1) (a 1) b3 (b 1) (b 1) (b 1) (a 1)(a3 1) (b 1)(b3 1) a b 2 (a 1)2 (a2 a 1) (b 1)2 (b2 b 1) a b 2 0 0 0 0 bài bác 75: minh chứng rằng ví như a,b,c ta luôn có: a 4 b4 c4 abc(a b c) HƯỚNG DẪN GIẢI 1 a 4 b4 c4 abc(a b c) a4 b 4 c4 a2bc b2ac c2ab (2a4 2b4 2c4 2a2bc 2b2ac 2c2ab) 2 1 (a4 2a2b2 b4 ) 2a2b2 (a4 2a2c2 c4 ) 2a2c2 (b4 2b2c2 c4 ) 2b2c2 a2bc b2ac c2ab 2 1 (a2 b2 )2 (a2 c2 )2 (b2 c2 )2 (a2b2 b2c2 2ab2c) (b2c2 c2a2 2abc2 ) (a2b2 c2a2 2a2bc) 2 1 (a2 b2 )2 (b2 c2 )2 (c2 a2 )2 (ab bc)2 (bc ca)2 (ab ac)2 0a,b,c 2 bài xích 79: CMR : 3 a8 b8 c8 a3 b3 c3 a5 b5 c5 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:2 a8 b8 a3 b3 a5 b5 2 b8 c8 b3 c3 b5 c5 2 c8 a8 a3 c3 a5 c5 cùng theo vế ta được: 4 a8 b8 c8 a8 b8 c8 a3 a5 b5 c5 b3 a5 b5 c5 c3 a5 b5 c5 3 a8 b8 c8 a3 b3 c3 a5 b5 c5 bài xích 70: mang lại a+b=2, CMR : a8 b8 a7 b7 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2 a8 b8 a b a7 b7 a8 b8 ab7 a7b a8 b8 a7b ab7 0 a b a7 b7 0 a b 0 a b 0 a b a b đưa sử 7 7 trường hợp 7 7 a b 0 a b 0 bài bác 71: CMR : a6 b6 c6 a5b b5c c5a, a,b,c 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a5 a b b5 b c c5 c a a b a5 b5 c a c5 b5 0 c a 0 a b 0 a b c giả sử : 5 5 và 5 5 => ĐPCM c b 0 a b 0 10CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 a2 b2 c2 a b c bài 72: CMR : với mọi a,b,c > 0 thì b2 c2 c2 a2 a2 b2 b c c a a b HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 a2 a a b c a b c ab a b ac a c Xét b2 c2 b c b c b2 c2 b c b2 c2 trả sử a b c => những ngoặc phần đông dương => ĐPCM bài 73: mang lại a, b là nhị số dương, CMR : a b a3 b3 2 a4 b4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2a4 2b4 a4 ab3 a3b b4 0 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 a b 0 bài xích 74: đến a,b là hai số dương, CMR : a b a4 b4 a2 b2 a3 b3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a5 ab4 a4b b5 a5 a2b3 a3b2 b5 0 a4b a3b2 ab4 a2b3 0 a3b a b ab3 b a 0 a b a3b ab3 0 ab a b a2 b2 0 bài xích 75: CMR : a2 b2 4 ab 2 a b HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 4 ab 2a 2b 0 2a2 2b2 8 2ab 4a 4b 0 a2 2ab b2 a2 4a 4 b2 4b 4 0 bài bác 76: mang lại a,b là nhị số tất cả tổng bởi 2, CMR : a4 b4 a3 b3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2 a4 b4 a b a3 b3 2a4 2b4 a4 ab3 a3b b4 0 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 b a 0 a b a3 b3 0 bài bác 77: đến a,b,c là tía số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR : a4 b4 c4 a3 b3 c3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:3 a4 b4 c4 a b c a3 b3 c3 2 2 b 3 2 2 2 2 2 2 2 a b a b b c b bc c c a c ac a 0 2 4 bài 78: mang lại 0 x, y, z 1 , CMR : 0 x y z xy yz zx 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Xét tích 1 x 1 y 1 z xyz xy yz zx x y z 1 0 x xy nhưng mà y yz x y z xy yz zx 1 xyz , nhưng 0 xyz 1 1 xyz 1 z zx bài bác 79: cho 1 x, y, z 2 và x+y+z=0, CMR : x2 y2 z2 6 HƯỚNG DẪN GIẢI x 2 x 1 0 x2 x 2 0 2 Xét y 2 y 1 0 y y 2 0 , cộng theo vế ta có: 2 z 2 z 1 0 z z 2 0 x2 y2 z2 6 0 x2 y2 z2 6 11CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 1 1 1 1 5 bài 80: mang lại x > 0, y > 0, z > 0, CMR : , với x2 y2 z2 x y z xyz 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x y z 2 0 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 5 5 5 2 xy yz zx 0 2 xy yz zx yz zx xy 1 3 3 6 1 1 1 1 x y z xyz bài xích 81: mang đến 0 1 a2 1 b 0 1 a2b a2 b 0 1 a2b a2 b phương diện khác: 0 a2 a3 ,b b3 a2 b a3 b3 Vậy 1 a2b a3 b3 , chứng minh tương trường đoản cú => ĐPCM bài 82: CMR : a4 b4 c4 abc a b c HƯỚNG DẪN GIẢI đưa vế ta có: a4 b4 c4 a2bc ab2c abc2 0 2 2 2 a2 b2 2a2b2 b2 c2 2b2c2 c2 a2 2a2c2 2a2bc 2b2ac 2abc2 0 2 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2b2 2a2bc a2c2 a2b2 2ab2c b2c2 a2b2 2ab2c b2c2 a2c2 2abc2 b2c2 0 bài bác 84: mang đến 0 a,b,c,d 1 , CMR : 1 a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 1 a 1 b 1 a b ab 1 a b ( vì ab >0) do c 1 1 c 0 1 a 1 b 1 c 1 a b 1 c 1 a b c chứng minh tương từ bỏ => ĐPCM a2 bài 85: mang đến a.b.c=1, a3 36 , CMR : b2 c2 ab bc ca 3 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 2 a a 2 2 a 2 2 a Xét hiệu b c ab bc ac 0 b c ab ac 2bc 3bc 0 4 12 4 12 2 3 3 a a 36abc 3 a 36abc b c , vày a 36 0 ĐPCM 2 12a 12a 2 2 2 ab 1 bài xích 87: mang đến hai số a, b thỏa mãn: a b 0, chứng minh rằng: a b 2 a b HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 ab 1 2 2 2 2 2 Ta có: a b 2 a b a b ab 1 2 a b a b 2 2 2 2 a b a b 2ab 2 a b ab 1 0 4 2 2 2 a b 2ab a b 2 a b ab 1 0 4 2 2 a b 2 a b ab 1 ab 1 0 12CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 2 2 a b ab 1 0 (ĐPCM) bài bác 89: cho x, y > 0 thỏa mãn nhu cầu điều kiện: x2 y3 x3 y4 , chứng tỏ rằng: x3 y3 2 , vết bằng xảy ra khi nào? HƯỚNG DẪN GIẢI Áp dụng BĐT côsi mang lại hai số dương ta có: x x3 2x2 , y2 y4 2y3 , do thế x x3 y2 y4 2x2 2y3 x y2 x2 y3 x2 y3 x3 y4 x2 y3 ,(x2 y3 x3 y4 ) Mà: x2 1 2x, y4 1 2y2 , nên 1 x2 1 y4 2x 2y2 2x2 2y3 x2 y3 x3 y4 thế nên x3 y3 2 lốt bằng xảy ra khi: x y 1 bài bác 90: chứng minh BĐT sau: x2 y2 xy x y 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x2 y2 xy x y 1 2 x2 y2 xy 2 x y 1 2x2 2y2 2xy 2x 2y 2 x2 2xy y2 x2 2x 1 y2 2y 1 0 bài 91: mang lại a, b là những số dương thỏa mãn: a3 b3 a5 b5 , chứng tỏ rằng: a2 b2 1 ab HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 1 ab a2 b2 ab 1 a b a2 b2 ab a b a3 b3 a b a3 b3 a3 b3 a b a5 b5 2a3b3 ab5 a5b 2 ab a4 2a2b2 b4 0 ab a2 b2 0,a,b 0 2 3 bài xích 92: cho những số a, b, c 0;1 , minh chứng rằng: a b c ab bc ca 1 HƯỚNG DẪN GIẢI vị a, b,c 0;1 , nên: 1 a 1 b 1 c 0 1 a b c ab bc ca abc 0 a b c ab bc ca 1 abc 1 2 3 vì chưng a,b,c 0;1 b b,c c , từ kia ta có: a b2 c3 ab bc ca a b c ab bc ca 1 Dạng 2: Dùng những phép thay đổi tương đương Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng tỏ tương mặt đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng tỏ là đúng ví như A B  C D , với C CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 c.  (a2 4ab 4b2 ) 4c2 (4ac bc) 0  (a 2b)2 2(a 2b).2c (2c)2 0  (a 2b 2c)2 0 a2 b2 c2 a b c d. ( )2  3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 3 3  (a b)2 (b c)2 (c a)2 0(dung) 1 1 1 bài bác 2: Cho ba số a,b,c R thỏa mãn: abc = 1 và a b c a b c a. Chứng tỏ rằng: (a 1)(b 1)(c 1) 0 b. Chứng tỏ răng luôn luôn tồn tại 1 trong những ba số a, b, c bé dại hơn 1 HƯỚNG DẪN GIẢI (a 1)(b 1)(c 1) 0  abc ab bc ca a b c 0 a. Ta có:  abc (a b c) (ab bc ca) 0 1 (a b c) (ab bc ca) 0(1) 1 1 1 ab bc ca cùng a b c  a b c  a b c ab bc ca(2) a b c abc từ bỏ (1)(2) ta bao gồm điều phải minh chứng b. Trả sử vĩnh cửu cả tía số a, b, c lớn hơn 1 abc 1 ( xích míc với đưa thiết ) Vậy luôn luôn tồn ở một số nhỏ hơn 1. Bài bác 3: minh chứng bất đẳng thức sau: (a10 b10 )(a2 b2 ) (a8 b8 )(a4 b4 )(1) HƯỚNG DẪN GIẢI (1)  (a10 b10 )(a2 b2 ) (a8 b8 )(a4 b4 ) 0  a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b a4b8 b12 0  (a10b2 a8b4 ) (a2b10 a4b8 ) 0  a8b2 (a2 b2 ) a2b8 (a2 b2 ) 0  (a2 b2 )2 a2b2 (a4 a2b2 b4 ) 0 a b c bài 4: chứng tỏ rằng: 1 2(a,b,c 0) a b b c c a HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 a a Ta có: a b a b c a b a b c a b a b c b b c c a b c Tương tự: ; . Vậy 1(*) b c a b c a c a b c a b b c c a a a c b a b c c b Lại có: a a b ; ; a b a b c b c a b c c a a b c a b c cộng vế cùng với vế bố bất đẳng thức ta được: 2( ) dpcm a b b c c a bài 5: mang đến a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a3b2 b3c2 c3a2 a2b3 b2c3 c2a3 HƯỚNG DẪN GIẢI a3b2 b3c2 c3a2 a2b3 b2c3 c2a3  a3b2 a2b3 b3c2 c2a3 c3a2 b2c3 0  a2b2 (a b) c2 (b 3 a3 ) c3 (a2 b2 ) 0 2 2 2 2 2 3  (a b) a b c (b ab a ) c (a b) 0  (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 0(luon.dung) a 5(a2 1) 11 bài 6: chứng tỏ rằng: a2 1 2a 2 14CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 HƯỚNG DẪN GIẢI a 5(a2 1) 11 a2 1 2a 2 a 1 5(a2 1)  5 0 a2 1 2 2a (a 1)2 5a2 a 5  . 0 2(a2 1) a(a2 1) (a 1)2 (a 1)2 9(a2 1)  . 2 2a(a2 1) (nhan.voi.2) 0,dau" "  a 1 bài 8: mang đến a 4,b 4.CMR : a2 b 2 ab 6(a b) HƯỚNG DẪN GIẢI bởi a 4,b 4 a 4 0;b 4 0 Đặt x a 4(x 0); y b 4(y 0) (1)  (x 4)2 (y 4)2 (x 4)(y 4) 6(x y 8)  x 2 y2 xy 6(x y) 0(dung.do : x, y 0)  x y 0  a b 4 4x2 y2 x2 y2 bài 9: mang đến hai số thực x, y 0,CMR : 3(1) (x2 y2 )2 y2 x2 HƯỚNG DẪN GIẢI 4x2 y2 x2 y2 (1)  1 2 0 (x2 y2 )2 y2 x2 4x2 y2 (x2 y2 )2 x4 y4 2x2 y2  0 (x2 y2 )2 x2 y2 (x2 y2 )2 (x2 y2 )2  0 (x2 y2 )2 x2 y2 2 2 2 1 1  (x y ) . 2 2 2 2 2 0 x y (x y ) (x2 y2 )2 x2 y2  (x2 y2 )2. 0 x2 y2 (x2 y2 )2 x4 y4 x2 y2  (x2 y2 )2. 0 x2 y2 (x2 y2 )2  x y Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch hòn đảo ( Cô si cộng chủng loại ) 1 1 4 1 1 1 9 a b a b a b c a b c 1 1 1 n2  a1 a2 ana,a1, ,an 0 a1 a2 an a1 a2 an 1 1 1 3 3 3 bài bác 1: mang đến a, b, c > 0. CMR: a b c a 2b b 2c c 2a HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức dạng: ( tự minh chứng bđt) a b c a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9 ; ; a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a 15CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 cộng vế các bất đẳng thức bên trên ta được: VT VP  a b c 2 3 4 5 6 7 bài xích 2: đến a, b, c > 0. CMR: 4( ) a b c a b c a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Áp dụng bất đẳng thức dạng: 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 2. 2( ); 3. 3.( ); x y x y a b a b a b a b c a c a a c c a b c b c 4 1 1 4. 4( ) b c b c cộng vế tía bất đẳng thức bên trên ta được: 2 3 4 5 6 7 4( ) a b c a b c a b c a b c 1 bài xích 3: cho a, b, c > 0. CMR: (1) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 3 HƯỚNG DẪN GIẢI 3a 3b 3c (1) 1 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 3a 3b  ( 1) ( 1) ( ) 4 a 4b 4c b 4c 4a 1 1 1 4(a b c)( ) 4 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 1 1 1 1  (2) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a b c 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức: x y z x y z 9 1 Ta được: VT (2) . Dpcm 9(a b c) a b c a b c bài xích 4: mang đến a, b, c > 0 thỏa mãn: a b c 3. Tìm kiếm GTLN của A 1 2a 1 2b 1 2c HƯỚNG DẪN GIẢI 2a 2b 2c 1 1 1 cách 1: 2A 1 1 1 3 B 1 2a 1 2b 1 2c 1 2a 1 2b 1 2c 1 1 1 9 B 1 1 2a 1 2b 1 2c 3 2(a b c) 2A 3 B 2 A 1  a b c phương pháp 2: Áp dụng bất đẳng thức: 9 1 1 1 9 1 1 1 1 1 2 a a 2 (1 ) x y z x y z 1 a a 1 a a 1 2a 9 a 1 2a 9 9 b b 2 c c 2 Tương tự: ; 1 2b 9 9 1 2c 9 9 a b c 6 Cộng ba vế của bất đẳng thức ta được: A 1  a b c 9 9 ab bc ca a b c bài bác 5: đến a, b, c > 0.

Xem thêm: Moderna Là Thuốc Của Nước Nào, Tổng Quan Và Độ An Toàn Của Vắc



Xem thêm: Hợp Âm Anh Nhà Ở Đâu Thế Hợp Âm Anh Nhà Ở Đâu Thế, Hợp Âm Anh Nhà Ở Đâu Thế

Chứng tỏ rằng a b 2c b c 2a c a 2b 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 4 1 1 Áp dụng bất đẳng thức: x y x y 16CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 1 1 1 1 1 1 1 1 VT ab. Bc. Ca. Ab( ) bc( ) ca.( ) (a c) (b c) 4 a c b c 4 4 1 bc ca ab bc ab bc a b c ( ) 4 a b b c a c 4 1 1 bài xích 6: mang đến a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Search GTNN: A abc a2 b2 c2 HƯỚNG DẪN GIẢI 1 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 ; 9 abc abc ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca (a b c)2 1 7 Lại có: 3(ab bc ca) (a b c)2 1 3 21 ab bc ca ab bc ca 9 9 1 cộng theo vế cha bất đẳng thức: A 30 A 30  a b c ab cb ca ab bc ca 3 1 1 1 4 4 4 bài 7: cho a, b, c > 0 . Minh chứng rằng: a b c a b 2c b c 2a c a 2b HƯỚNG DẪN GIẢI 4 1 1 4 4 4 2 2 2 Ta có: ; (1) (a c)(b c) a c b c a b 2c a c b c a b 4 1 1 4 1 1 4 1 1 ; ; a c a c b c b c a b a b 4 4 4 2 2 2 Lại có: a c b c a b a b c 2 2 2 1 1 1  2( ) 2( )(2) a c b c a b a b c từ bỏ (1)(2) ta tất cả điều bắt buộc chứng minh. 7 4 7 1 2 3 bài bác 2: mang lại a, b, c > 0 . Minh chứng rằng: 9( ) a b c a 2b b 2c c 2a HƯỚNG DẪN GIẢI 9 1 1 1 9 1 1 1 9 2 2 2 ; 2. Ta có: a b b a b c b c c b c c b c c b c c 9 1 1 1 9 3 3 3 3. A c c c a a c a a c a a cùng vế cùng với vế những bất đẳng thức ta được đpcm a b c 1 bài xích 3: cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: (1) 2a 5b 5c 2b 5c 5a 2c 5a 5b 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 3 15 (1) 3.VT  3.VT 3 4 4 1 1 1 9 45 15 3.VT 3 (5a 5b 5c)( ) 5(a b c). 2a 5b 5c 12(a b c) 12 4 Dạng 4 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ những BĐT phụ hay cần sử dụng : 17CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 2 a b 2 x y a2 b2 x y 4xy 2 2 y x x2 y2 xy , x y 0 x3 y3 xy(x y) (x y)(y z)(z x) 8xyz 1 bài bác 1: mang đến a+b > 1, CMR : a4 b4 8 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 a b 2ab 1 1 Ta có: a b 1 a2 b2 2 2 a b 2ab 0 2 4 4 2 2 1 2 2 2 1 a b 2a b 4 4 1 4 4 1 => a b 4 2a 2b , Vậy a b 4 4 2 2 2 4 8 a b 2a b 0 1 bài bác 2: cho a+b = 1, CMR : a2 b2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 a 2ab b 1 1 Ta có: a b 1 2a2 2b2 1 a2 b2 2 2 a 2ab b 0 2 bài bác 3: đến a+b > 2, CMR : a2 b2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 a 2ab b 4 Ta có: a b 4 2a2 2b2 4 a2 b2 2 2 2 a 2ab b 0 bài xích 4: mang lại a2 b2 2 , CMR: a b 2 HƯỚNG DẪN GIẢI a2 b2 2 Ta có: 2 2 2 2 a b 2ab 2ab a b 2 cùng theo vế ta được: a2 b2 2ab 4 a b 2 4 a b 2 bài bác 5: đến a,b,c là độ dài bố cạnh của một tam giác, CMR: a2 b2 c2 2 ab bc ca HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: do a,b,c là độ dài bố cạnh của 1 tam giác phải ta có: 2 a b c a ab ac 2 2 2 2 b a c b ab bc a b c 2 ab bc ac c a b 2 c ac bc 1 bài bác 6: mang đến a,b là hai số thực ngẫu nhiên có tổng bằng 1, CMR: a3 b3 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a b 1 b 1 a b3 1 a 3 => a3 b3 a3 1 3a 3a2 a3 3a2 3a 1 2 2 1 3 1 1 1 3 a a 3 a 4 4 2 4 4 1 1 1 1 bài 8: cho a,b,c > 0, CMR : a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a3 b3 a b a2 ab b2 a b ab , bởi a2 ab b2 ab 18CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 lúc ấy 3 b3 abc a b ab abc ab a b c chứng tỏ tương tự ta có: b3 c3 abc bc a b c với c3 a3 abc ac a b c 1 1 1 1 1 a b c 1 lúc ấy ta có: VT . A b c ab bc ca a b c abc abc a b c 3 bài xích 10: mang đến a,b,c > 0, CMR : b c c a a b 2 HƯỚNG DẪN GIẢI x a b 1 1 1 tự x y z 9 , Đặt y b c x y z z c a 1 1 1 => 2 a b c 9 a b b c c a a b c a b c a b c 9 c a b 9 3 => 3 a b b c c a 2 a b b c c a 2 2 a b 1 3 bài 11: mang lại a,b > 0, CMR : b 1 a 1 a b 2 HƯỚNG DẪN GIẢI a b 1 1 1 1 9 3 Ta có: 1 1 1 3 a b 1 3 3 b 1 a 1 a b a b a 1 b 1 2 2 3 bài bác 15: CMR : a2 b2 c2 a b c 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 1 2 1 2 1 Ta có: a a b b c c 0 4 4 4 1 1 1 bài xích 16: đến a,b,c dương bao gồm tổng là 1, CMR : 9 a b c HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 1 bởi a b c 1 a b c 9 a b c x4 y4 x2 y2 x y bài 18: mang đến x,y,z > 0, CMR : 2 y4 x4 y2 x2 y x HƯỚNG DẪN GIẢI x4 y4 x y x2 y2 2 Ta có: 4 4 2 , tương tự và 2 2 2 y x y x y x cộng theo vế ta có: VT 2 2 2 2 bài bác 19: cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 a b 4 a b ab 4 Ta có: a b 4ab do a b ab 1 1 a b 4 ab a b ab ab a b bài xích 21: mang đến a,b,c thỏa mãn: a2 b2 c2 3 , CMR: ab bc ca a b c 6 HƯỚNG DẪN GIẢI a2 b2 2ab 2 2 2 2 2 Ta có: b c 2bc 2 a b c 2 ab bc ca 2.3 2 ab bc ca 2 2 c a 2ac 19CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 =>ab bc ca 3 (1) a2 1 2a 2 khía cạnh khác: b 1 2b 3 3 2 a b c a b c 3 (2) 2 c 1 2c cộng (1) cùng (2) theo vế ta được ĐPCM x2 y2 1 bài 22: CMR: , với tất cả x,y là số thực 1 16x4 1 16y4 4 HƯỚNG DẪN GIẢI x2 1 Ta có: 1 16x4 2. 16x4 2.4x2 8x2 (1) 1 16x4 8 y2 y2 1 Tương tự: (2) 1 16y4 8y2 8 1 cùng theo vế ta được : VT 4 a b a2 b2 bài xích 24: CMR: với a,b > 0 với a > b > 0 thì a b a2 b2 HƯỚNG DẪN GIẢI a b a b a b a2 b2 Ta có: , nhưng a2 2ab b2 a2 b2 a b a b 2 a b 2 a2 b2 khi ấy VT a2 b2 bài xích 25: mang đến 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR : a b abc HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 Ta có: a b 4ab a b c 4 a b c 16 4 a b c 2 4 a b c 4 a b a b 2 c 4 a b 2 ab c 4abc => a b abc bài xích 26: đến 2 số x,y > 0 thỏa mãn: x3 y3 x y , CMR : x2 y2 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x3 y3 0 x y 0 x2 y2 1 x y x2 y2 x3 y3 x3 xy2 x2 y y3 x3 y3 2y3 x2 y xy2 0 y 2y2 x2 xy 0 1 bài 27: mang đến a+b = 1, CMR: a2 b2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 a 2ab b 1 1 Ta có: a b 1 2a2 2b2 1 a2 b2 2 2 a 2ab b 0 2 1 bài xích 28: đến a+b=1, CMR: a4 b4 8 HƯỚNG DẪN GIẢI a2 2ab b2 1 1 Ta có: 2a2 2b2 1 a2 b2 2 2 a 2ab b 0 2 20CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 4 4 2 2 1 a b 2a b 4 4 1 4 4 một mặt khác: 4 2a 2b a b 4 4 2 2 4 8 a b 2a b 0 bài 30: mang lại a,b,c thỏa mãn: a2 b2 c2 1, CMR: abc 2 1 a b c ab bc ca 0 HƯỚNG DẪN GIẢI do a2 b2 c2 1 a , b , c 1 1 x, y, z 1 khi đó: a 1 b 1 c 1 0 abc ab bc ca a b c 1 0 (1) cơ mà a b c 1 2 a b c 2 2 a b c 1 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 a b c 1 0 ab bc ca a b c 1 0 (2) cộng (1) và (2) theo vế ta được: abc 2 ab bc ca a b c 1 0 a2 b2 c2 c b a bài 3: chứng tỏ rằng: b2 c2 a 2 b a c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: (x y)2 0 x2 y 2 2xy( x y) a2 b2 a b a b2 c2 b a 2 c 2 b Áp dụng: 2 . 2 ; 2. ; 2. B2 c2 b c c c2 a2 a b2 a2 c a b c  2VT 2( ) VT VP(dpcm) c a b bài xích 4: đến a, b, c, d, > 0 cùng abcd = 1. CMR: a2 b2 c2 d 2 a(b c) b(c d) d(c a) 10 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 2ab;c 2 d 2 2cd a2 b2 c2 d 2 2(ab cd) 1 1 1 1 1 1 1 từ bỏ : abcd 1 ab ;ac ;ad ;bc ;bd ;cd ;ad cd bd bc ad ac ab bc 1 ab 1 1 Có: 2(ad bc) 2(ab ) 2.2. 4 do : ( )2 0  ab 2 ab 1 ab ab Vậy a2 b2 c2 d 2 4 Lại có: 1 1 1 ab ac bc bd cd ad (ad bc) (ac bd) (bc ad) (ab ) (ac ) (bc ) 6 ab ac bc 2 2 2 VT 10 bài bác 5: đến x, y, z 0 . CMR: (x y)(y z)(z x) 8xyz(1) HƯỚNG DẪN GIẢI (1)  (x y)2 (y z)2 (z x)2 64x2 y2 z2 (x y)2 4xy;(y z)2 4yz;(z x)2 4xz Lại có: (x y)2 (y z)2 (z x)2 64x2 y2 z2 dpcm  x y z bài 6: đến a,b,c 0;abc 1 . CMR: (a 1)(b 1)(c 1) 8 HƯỚNG DẪN GIẢI 21CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 (a 1)2 4a;(b 1)2 4b;(c 1)2 4c Ta có: (a 1)(b 1)(c 1)2 (8abc)2 (a 1)(b 1)(c 1) 8abc bài bác 7: mang lại a,b,c,d 0;abcd 1 . CMR: a2 b2 c2 d 2 ab cd 6 HƯỚNG DẪN GIẢI Có: a2 b2 c2 d 2 ab cd 2ab 2cd ab cd 3(ab cd) 1 Lại có: 3(ab cd) 3(ab ) 3.2 6(dpcm) ab bài 8: cho x y z 1 . 1 1 a. CMR: x2 y2 z2 b. Xy yz zx 3 3 HƯỚNG DẪN GIẢI (x y)2 0x, y a. Ta có: x2 y 2 2xy; y2 z2 2yz; x2 z2 2xz 2x2 2y2 2z2 2(xy yz zx) 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2(xy yz xz) (x y z)2 (x y z)2 1 x2 y2 z2 3 3 1  x y z 3 b. Theo chứng tỏ trên: 2x2 2y2 2z2 2(xy yz zx) x2 y2 z2 xy yz zx (x y )2 3(xy yz zx) 1 3(xy yz zx) 1 1 xy yz zx  x y z . 3 3 bài bác 9: mang đến a,b,c 0 thỏa mãn: a b c 1 . Chứng minh rằng: a b 2c 4(1 a)(1 b)(1 c) HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: (x y) 2 4xy  4xy (x y)2 0 a,b,c 1 1 c 0 4(1 a)(1 b) (1 a 1 b)2 (1 c)2 Áp dụng ta được: VP (1 c)2 (1 c) (1 c2 )(1 c) 1 c 1 a b Mà: 1 a b c VP a b 2c  2 c 0 1 1 1 bài xích 10: đến a,b,c 0 thỏa mãn: abc 1 . Chứng tỏ rằng: 1 a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1 HƯỚNG DẪN GIẢI x3 y 3 xy(x y)  (x y)(x y)2 0x, y 0 Áp dụng ta có: 1 1 abc c a3 b3 1 ab(a b) abc ab(a b c) a3 b3 1 ab(a b c) ab(a b c) a b c 1 a 1 b Tương tự: ; b3 c3 1 a b c c3 a3 1 a b c 22CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 cộng vế các bất đẳng thức bên trên ta được điều buộc phải chứng minh. 1 1 1 3 bài bác 11: mang đến a,b,c 1 . Chứng minh rằng: 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc HƯỚNG DẪN GIẢI triệu chứng minh: 1 1 2 x, y 0; xy 1 1 x2 1 y2 1 xy  (2 x2 y2 )(1 xy) 2(1 x2 )(1 y2 )  2xy xy(x2 y2 ) x2 y2 2x2 y2  (x y)2 (xy 1) 0(do : xy 1) 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 Áp dụng: ; ; 1 a2 1 b2 1 ab 1 abc 1 b2 1 c2 1 abc 1 c2 1 a2 1 abc cộng vế các bất đẳng thức thức ta được điều cần chứng minh. X2 (y z) y2 (z x) z2 (x y) bài xích 12: cho x, y, z 0; x y z 1 . Tra cứu GTNN: A yz zx xy HƯỚNG DẪN GIẢI x2 y2 x2 z 2 y2 z2 A y x z x z y Ta có: a3 b3 (a b)aba,b 0 thật vậy  (a b)(a 2 ab b2 ) (a b)ab 0  (a b)(a b)2 0a,b 0 Hoặc: a2 b2 ab aba,b  (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b)  a3 b3 ab(a b) x2 y2 x3 y3 y2 z2 z2 x2 Áp dụng: x yx, y 0; y z; x z y x xy z y x z 1 cùng vế bố bất đẳng thức ta được: A 2(x y z0 2 min A 2  x y z 3 xy yz xz bài bác 13: đến x, y, z 0; x2 y2 z2 1 . Tìm kiếm GTNN: A z x y HƯỚNG DẪN GIẢI x2 y2 y2 z2 x2 z2 A2 2 . Mà: a 2 b2 2ab z2 x2 y2 x2 y2 y2 z2 Áp dụng: 2y2 z2 x2 3 tựa như ta có: A 2 3  x y z min A 3 3 Dạng 5: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: a b c bài 1: cho a,b,c là độ dài bố cạnh của một tam giác, CMR: 2 b c c a a b HD : a a 2a Ta gồm : 1 b c b c a b c b b 2b c 2c 2(a b c) tương tự như ta có: 1 , , cộng theo vế VT 2 c a c a a b c a b a b c a b c a b c bài 2: cho a,b,c > 0, CMR: 1 2 a b b c c a HD : 23CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 a a a c b b b a c c c b Ta tất cả : cùng và a b c a b a b c a b c b c a b c a b c c a a b c cộng theo vế ta được : a b c a b b c c a M a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 2 a b c M 1 M 2 a b c a b c a b c d bài 3: mang đến a,b,c,d > 0, CMR: 1 2 a b c b c d c d a d a b HD : a a a d b b a b Ta có : với a b c d a b c a b c d a b c d b c d a b c d c c c b d d d c cùng a b c d c d a a b c d a b c d d a b a b c d cùng theo vế ta gồm : a b c d 2 a b c d M 1 M 2 a b c d a b c d a b b c c d d a bài xích 4: mang lại a,b,c,d > 0, CMR: 2 3 a b c b c d c d a d a b HD : a b a b a b d Ta gồm : a b c d a b c a b c d minh chứng tương tự : b c b c b c a c d c d c d b , a b c d b c d a b c d a b c d c d a a b c d d a d a d a c và a b c d d a b a b c d cùng theo vế ta bao gồm : 2 a b c d 3 a b c d M a b c d a b c d a b c bài 5: cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác, CMR:1 2 b c c a a b HD : a a a a b b b b c c c c Ta gồm : với và a b c b c a b c a b c c a a b c a b c a b a b c a b c 2 a b c cùng theo vế ta được : M a b c a b c a b c 3 bài bác 6: CMR ví như a,b,c > 0 thì b c c a a b 2 HD : b c x 1 1 1 Áp dung BĐT : x y z 9 , Đặt c a y x y z 2 a b c x y z a b z 1 1 1 a b c a b c a b c 9 lúc ấy ta có : 2 a b c 9 a b b c c a a b b c c a 2 => ĐPCM 24CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 a b c bài xích 7: mang đến a,b,c là độ dài tía cạnh của 1 tam giác, CMR: 3 b c a a c b a b c HD : b c a x x y 2c y z x z x y Đặt : a c b y y z 2a , khi đó : 2A x y z a b c z z a 2b x y z x z y 6 A 3 y x x z y z bài bác 8: đến a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác, 1 1 1 1 1 1 CMR: a b c b c a c a b a b c HD : 1 1 4 2 Áp dụng BĐT Schawzr : a b c b c a 2b b tựa như ta bao gồm : 1 1 2 1 1 2 cùng , cùng theo vế ta được : ĐPCM b c a c a b c c a b a b c a bài xích 9: CMR cùng với a,b,c là độ dài cha cạnh của 1 tam giác và phường là nửa chu vi của tam giác đó thì: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c HD : 1 1 4 4 Ta gồm : p. A p. B 2 p a b c 1 1 4 1 1 4 tựa như ta gồm : và p. B p c a phường c p. A b cùng theo vế ta được điều phải chứng minh 1 bài 17: mang lại a b c 1,CMR : a2 b2 c2 3 HD : 1 2 1 a x a2 x2 .x 3 3 9 1 2 2 2 1 b y b y .y Đặt 3 3 9 cộng theo vế ta được : 1 2 2 2 1 c z c z .z 3 3 9 2 1 a2 b2 c2 x2 y2 z2 x y z (1) 3 3 cơ mà : a b c x y z 1 x y z 0 , vậy vào (1) 1 1 => a2 b2 c2 x2 y2 z2 3 3 bài xích 18: cho a,b,c là dộ dài cha cạnh của một tam giác, CMR: a2 b2 c2 2 ab bc ca HD : 25CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 2 a b c a ab ac 2 Ta tất cả : b c a b ab bc , cùng theo vế ta được ĐPCM c a b 2 c ac bc Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Muốn chứng tỏ bất đẳng thức A B đúng, ta trả sử A B là sai, có nghĩa là A