Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Chứa Căn

     

Phương trình, bất phương trình cùng hệ phương trình chứa căn là một trong những dạng toán phổ cập trong chương trình toán lớp 9 với lớp 10. Vậy bao gồm dạng PT đựng căn nào? phương thức giải phương trình chứa căn?… vào nội dung nội dung bài viết dưới dây, conhantaohpg.com để giúp bạn tổng hợp kỹ năng và kiến thức về chủ đề PT chứa căn, cùng khám phá nhé!


Mục lục

1 nhắc lại kiến thức và kỹ năng căn bản 2 tò mò về phương trình đựng căn bậc 2 2.3 phương pháp giải phương trình cất căn bậc 2 lớp 9 nâng cao3 tìm hiểu về phương trình cất căn bậc 34 tìm hiểu về phương trình đựng căn bậc 45 mày mò về bất phương trình cất căn thức5.2 biện pháp giải bất phương trình chứa căn khó 6 tò mò về hệ phương trình đựng căn khó6.2 Giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 cất căn

Nhắc lại kỹ năng và kiến thức căn bản 

Để xử lý được các bài toán phương trình cất căn thì đầu tiên chúng ta phải nắm vững được những kiến thức về căn thức cũng tương tự các hằng đẳng thức quan lại trọng.

Bạn đang xem: Phương pháp giải hệ phương trình chứa căn


Định nghĩa căn thức là gì?

Căn bậc 2 (căn bậc hai) của một vài (a) ko âm là số (x) làm sao để cho (x^2=a)

Như vậy, từng số dương (a) bao gồm hai căn bậc 2 là (sqrta;-sqrta)

Tương từ như vậy, ta gồm định nghĩa căn bậc 3, bậc 4:

Căn bậc 3 (căn bậc ba) của một số trong những (a) là số (x) làm sao cho (x^3=a). Mỗi số (a) chỉ bao gồm duy nhất 1 căn bậc 3

Căn bậc 4 của một số (a) ko âm là số (x) làm thế nào cho (x^4=a). Mỗi số dương (a) có hai căn bậc 4 là (sqrt<4>a;-sqrt<4>a)

Các hằng đẳng thức quan trọng 

*

Tìm đọc về phương trình cất căn bậc 2 

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 2 là gì?

Phương trình chứa căn bậc 2 là phương trình tất cả chứa đại lượng (sqrtf(x)). Với dạng toán này, trước khi bước đầu giải thì ta luôn phải tìm điều kiện để biểu thức vào căn gồm nghĩa, tức là tìm khoảng giá trị của (x) nhằm (f(x) geq 0 ).

Phương pháp giải phương trình cất căn bậc 2 đơn giản

Phương pháp bình phương 2 vế được thực hiện để giải PT chứa căn bậc 2. Đây được xem là phương thức đơn giản và hay sử dụng nhất, thường được sử dụng với những phương trình dạng: (sqrtf(x)=g(x))

Bước 1: Tìm đk của (x) nhằm (f(x) geq 0; g(x) geq 0)Bước 2: Bình phương hai vế, rồi rút gọnBước 3: Giải kiếm tìm (x) và chất vấn có vừa lòng điều kiện hay không.

Ví dụ :

Giải phương trình: (sqrtx^2-4x+3=3x-7)

Cách giải:

ĐKXĐ:

(left{eginmatrix x^2-4x+3 geq 0\ 3x-7 geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x-1)(x-3)geq 0\3x geq 7 endmatrix ight.)

(Leftrightarrowleft{eginmatrix left<eginarrayl x geq 3\x leq 1 endarray ight.\ xgeq frac73 endmatrix ight. Leftrightarrow xgeq 3)

Bình phương 2 vế, ta bao gồm :

(x^2-4x+3=3x-7 Leftrightarrow x^2-7x+10=0)

 (Leftrightarrow (x-2)(x-5)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl x=2\x=5 endarray ight.)

Kiểm tra điều kiện thấy (x=5) thỏa mãn

Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho rằng (x=5)

Phương pháp giải phương trình đựng căn bậc 2 lớp 9 nâng cao

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp này sử dụng những bất đẳng thức cơ bạn dạng để bệnh minh:

Vế trái (geq) Vế phải hoặc Vế trái (leq) Vế phải rồi tiếp nối “ép” mang lại dấu “=” xảy ra.

Ví dụ :

 Giải phương trình : (sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 =2sqrt2)

Cách làm cho :

Điều kiện xác minh :

(left{eginmatrix 5x-x^2-4 geq 0\ x-1 geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x-1)(x-4) leq 0\ x geq 1 endmatrix ight. Leftrightarrow 1leq x leq 4)

Áp dụng BĐT (sqrta + sqrtb leq sqrt2(a+b)), ta bao gồm :

(sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 leq sqrt2(6x-x^2-5))

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi:

 ( 5x-x^2-4=x-1 Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0 )

( Leftrightarrow left<eginarrayl x=1\x=3 endarray ight. hspace1cm (1))

Ta tất cả : (6x-x^2-5 = -(x^2-6x+9)+4 =4-(x-3)^2leq 4)

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi (x=3 hspace1cm (2))

Vậy :

(sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 leq sqrt2(6x-x^2-5) leq sqrt8=2sqrt2) 

Do đó, để thỏa mãn phương trình đã đến thì ((1)(2)) đề xuất thỏa mãn, hay (x=3)

Phương pháp đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình

Với những phương trình dạng : (sqrtf(x) pm sqrtg(x) =k) ta hoàn toàn có thể đặt ẩn phụ (left{eginmatrix a=sqrtf(x)\ b=sqrtg(x) endmatrix ight.) rồi giải hệ phương trình nhì ẩn (a,b)

Ví dụ :

Giải phương trình :(sqrtx^2+5 – sqrtx^2-3 =2)

Cách giải:

Điều kiện xác định : (left<eginarrayl x geq sqrt3\x leq -sqrt3 endarray ight.)

Đặt (left{eginmatrix a= sqrtx^2+5\ b= sqrtx^2-3 endmatrix ight.) ta có :

(left{eginmatrix a-b =2\ a^2-b^2=8 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix a-b=2\ (a-b)(a+b)=8 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix a-b=2\a+b=4 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix a=3\ b=1 endmatrix ight.)

Thay vào ta tìm kiếm được (x=1) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là (x=1)

Tìm đọc về phương trình đựng căn bậc 3

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt<3>f(x)=g(x))

Với dạng bài bác này, ta lập phương nhì vế để phá bỏ căn thức rồi rút gọn tiếp nối quy về search nghiệm của phương trình : (g^3(x)-f(x)=0)

Ví dụ:

Giải phương trình : (sqrt<3>3x-4= x-2)

Cách giải:

Lập phương 2 vế phương trình ta bao gồm :

(3x-4=(x-2)^3Leftrightarrow x^3-6x^2+9x-4 =0)

(Leftrightarrow (x-1)^2(x-4)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl x=1\x=4 endarray ight.)

Giải phương trình cất căn bậc 3 (sqrt<3>A+sqrt<3>B=sqrt<3>C)

Với dạng bài này ta lập phương 2 vế, phương trình trở thành:

(A+B +3sqrt<3>AB(sqrt<3>A+sqrt<3>B)=C)

Thay (sqrt<3>A+sqrt<3>B=sqrt<3>C) vào ta được :

(sqrt<3>ABC=C-A-B (2) )

Phương trình về bên dạng (sqrt<3>f(x)=g(x)).

Xem thêm: Những Cách Mở Ổ Khóa Số Khi Quên Mật Khẩu, Cách Mở Ổ Khóa Số Khi Quên Mật Khẩu

Chú ý: sau thời điểm giải ra nghiệm, ta phải thử lại vào phương trình đã cho vì phương trình ((2)) chỉ với hệ quả của phương trình ban đầu

Ví dụ :

Giải phương trình :

(sqrt<3>3x-4+sqrt<3>x+3=sqrt<3>4x-1)

Cách giải:

Lập phương 2 vế ta được :

((3x-4)+(x+3)+3sqrt<3>(3x-4)(x+3).(sqrt<3>3x-4+sqrt<3>x+3)=4x-1)

(Rightarrow 3sqrt<3>(3x-4)(x+3).sqrt<3>4x-1=0)

(Rightarrow 3sqrt<3>(3x-4)(x+3).sqrt<3>4x-1=0 Rightarrow left<eginarrayl x=frac43\x=-3 \ x=frac14 endarray ight.)

Thử lại thấy cả 3 nghiệm phần nhiều thỏa mãn.

Vậy phương trình đang cho bao gồm 3 nghiệm là : (frac43; -3; frac14)

Tìm gọi về phương trình cất căn bậc 4

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?

Để giải phương trình đựng căn bậc 4 thì ta buộc phải năm rõ hằng đẳng thức sau đây:

((x+y)^4=x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4)

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 4

Ví dụ :

Giải phương trình : (sqrt<4>x^4-4x^3+17-x+1)

Cách giải :

Điều kiện xác minh :

( left{eginmatrix x^4-4x^3+17 geq 0\ x geq 1 endmatrix ight.)

Phương trình vẫn cho tương đương với :

(sqrt<4>x^4-4x^3+17=x-1 Rightarrow x^4-4x^3+17=(x-1)^4)

(Rightarrow x^4-4x^3+17=x^4 – 4 x^3 + 6 x^2 – 4 x + 1)

(Rightarrow 6x^2-4x-16=0 Rightarrow (x-2)(3x+4)=0)

(Rightarrow left<eginarrayl x=2\x=-frac43 endarray ight.)

Kết hợp đk ta được nghiệm của phương trình đã cho là (x=1)

Tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức

Về cơ bản, cách giải bất phương trình cất căn thức ko khác biện pháp giải PT cất căn nhiều, nhưng trong những khi trình bày họ cần để ý về lốt của bất phương trình.

Các dạng bất phương trình đựng căn lớp 10

*

Cách giải bất phương trình cất căn khó 

Giải bất phương trình cất căn bậc hai bằng phương pháp bình phương hai vế

Các cách làm cũng như cách giải PT chứa căn

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (x-3-sqrt5-x geq 0)

Cách giải:

Điều kiện xác định :

(left{eginmatrix x-3 geq 0\ 5-x geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix x geq 3\ x leq 5 endmatrix ight. Leftrightarrow 3 leq x leq 5)

Bất phương trình sẽ cho tương đương với :

(x-3 geq sqrt5-x Leftrightarrow x^2-6x+9 geq 5-x)

(Leftrightarrow x^2-5x+4 geq 0 Leftrightarrow (x-4)(x-1)geq 0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x geq 4\ x leq 1 endmatrix ight.)

Kết hợp đk ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là (x in mathbbR | xgeq 4)

Giải bất phương trình đựng căn bậc hai bằng cách nhân liên hợp

Đây là cách thức nâng cao, dùng để giải những bài toán bất PT đựng căn khó. Cách thức này dựa trên việc áp dụng các đẳng thức sau :

(sqrta – sqrtb =fraca-bsqrta + sqrtb)

(sqrta + sqrtb =fraca-bsqrta – sqrtb)

(sqrt<3>a – sqrt<3>b = fraca-bsqrt<3>a^2+sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)

(sqrt<3>a + sqrt<3>b = fraca+bsqrt<3>a^2-sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (sqrtx+5-sqrt2x+3 geq x^2-4)

Cách giải:

Điều kiện :

(left{eginmatrix x geq -5\ x geq -frac32 endmatrix ight. Leftrightarrow xgeq -frac32)

Ta có:

(sqrtx+5-sqrt2x+3 = frac(x+5)- (2x+3)sqrtx+5+sqrt2x+3=frac2-xsqrtx+5+sqrt2x+3)

(x^2-4 =(x-2)(x+2))

Vậy bất phương trình đang cho tương đương với :

(frac2-xsqrtx+5+sqrt2x+3geq (x-2)(x+2))

(Leftrightarrow (x-2)(x+2+frac1sqrtx+5+sqrt2x+3) leq 0)

Từ ĐKXĐ gồm (x geq frac32 Rightarrow x+2 geq frac12 >0)

Vậy phải :

(x+2+frac1sqrtx+5+sqrt2x+3 geq 0)

Vậy bất phương trình đã cho tương đương với :

(x-2 leq 0 Leftrightarrow x leq 2)

Kết đúng theo Điều kiện khẳng định ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là :

(-frac32 leq x leq 2)

*

*

*

*

Tìm hiểu về hệ phương trình chứa căn khó

Giải hệ phương trình đựng căn bằng phương pháp thế

Đây là phương pháp đơn giản và thường được sử dụng trong những bài toán hệ PT chứa căn. Để giải hệ phương trình cất căn bằng phương thức thế, ta có tác dụng theo quá trình sau :

Bước 1: search Điều kiện xác địnhBước 2: lựa chọn một phương trình dễ dàng hơn trong những hai phương trình, đổi khác để quy về dạng: (x =f(y))Bước 3: gắng (x =f(y)) vào phương trình còn sót lại rồi giải phương trình theo ẩn (y)Bước 4: trường đoản cú (y) thay vào (x =f(y)) để tìm ra (x). Đối chiều cùng với ĐKXĐ rồi kết luận

Ví dụ :

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix sqrtx+1=y+2\ sqrtx+2y-1=2y+1 endmatrix ight.)

Cách giải:

Điều kiện xác định :

(left{eginmatrix xgeq -1\y geq -2 \ x geq 1-2y \ y geq -frac12 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix xgeq -1 \ x geq 1-2y \ y geq -frac12 endmatrix ight.)

Từ PT (1) ta gồm :

(x+1=(y+2)^2=y^2+4y+4)

(Leftrightarrow x= y^2-4y+3 hspace1cm(*))

Thay vào PT (2) ta được :

(sqrty^2+4y+3+2y-1 = 2y+1)

(Leftrightarrow y^2+6y+2 = 4y^2+4y+1)

(Leftrightarrow 3y^2 -2y-1 =0)

(Leftrightarrow (3y+1)(y-1)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl y=1\ y=-frac13 endarray ight.)

Thay vảo ((*)) ta được :

(left<eginarrayl y=1 ; x= 8\ y=-frac13; x=frac19 endarray ight.)

Kết hợp điều kiện xác minh thấy cả nhị cặp nghiệm mọi thỏa mãn.

Xem thêm: Khi Có Đặc Điểm Rất Nóng Là, Khối Khí Có Đặc Điểm “Rất Nóng” Là

Giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 chứa căn

Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng các loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình tất cả 2 ẩn (x;y) làm thế nào để cho khi ta đổi khác vai trò (x;y) cho nhau thì hệ phương trình không cố gắng đổi:

(left{eginmatrix f(x;y)=0\g(x;y)=0 endmatrix ight.)

Với:

(left{eginmatrix f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)= g(y;x) endmatrix ight.)

Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 đựng căn

Đối cùng với dạng toán này, giải pháp giải vẫn tương đương như công việc giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1, chăm chú có thêm cách tìm ĐKXĐ

Bước 1: kiếm tìm Điều kiện xác địnhBước 2: Đặt (S = x + y; p = xy) (với (S^2 geq 4P)) . Lúc đó, ta chuyển hệ về hệ mới chứa (S;P) .Bước 3: Giải hệ new tìm (S;P) . Chọn (S;P) thỏa mãn nhu cầu (S^2 geq 4P)Bước 4: với (S;P) kiếm được thì (x;y) là nghiệm của phương trình: (t^2 -St +P =0) ( áp dụng định lý Vi-ét đảo để giải )

Chú ý:

Một số biểu diễn đối xứng qua (S;P):

Nếu ((x;y)=(a;b)) là nghiệm thì ((x;y)=(b;a)) cũng là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ sqrtx+1 + sqrty+1=4 endmatrix ight.)

Cách giải :

ĐKXĐ:

(left{eginmatrix x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 endmatrix ight. hspace1cm (*))

Đặt (S=x+y hspace5mm; P=xy) cùng với (left{eginmatrix S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 endmatrix ight. hspace1cm (**))

Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đã cho tương đương với :

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ x+y+2+sqrtx+y+xy+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S- sqrtP =3 \S+2+2sqrtS+P+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrtS+P+1 endmatrix ight.) cùng với (3leq Sleq 14)

Thay ( P= S^2 -6S +9 ) trường đoản cú PT (1) vào PT (2) ta tất cả :

(S-14 = -2sqrtS^2-5S+10)

(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))

(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S=6\S=-frac263 endmatrix ight.)

Kết đúng theo ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)

Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :

(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)

Vậy (x=y=3) ( vừa lòng điều kiện).

Bài viết trên đây của conhantaohpg.com đã giúp đỡ bạn tổng hợp kim chỉ nan về PT chứa căn thức cũng như phương pháp giải phương trình đựng căn, bất phương trình, hệ PT đựng căn. Mong muốn những kiến thức và kỹ năng trong nội dung bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quy trình học tập và nghiên cứu và phân tích về chủ đề phương trình cất căn thức. Chúc bạn luôn luôn học tốt!